Всего: 48 1–20 | 21–40 | 41–48
Добавить в вариант
а его производная, соответственно, 
В таком случае сумма корней многочлена равна 
а сумма корней производной 
то есть составляет 
от суммы корней многочлена.
отсюда: 
то есть нас интересуют числа, делящиеся на 2, 3 или 5 . Найдём сначала количество таких чисел. Для этого воспользуемся принципом включений и исключений. Чётных чисел от 1 до 3000 ровно 
кратных трём 
кратных пяти 
Однако, если просто сложить числа 1500,1000 и 600 , мы посчитаем некоторые числа 2 раза, а именно, числа, делящиеся на 
и 
поэтому из полученной суммы надо вычесть 
и 
тоже имеет с N те же самые общие делители. Значит, все интересующие нас числа, кроме чисел 1500 и 3000 , разбиваются на пары с суммой 3000 (числу 3000 в пару пришлось бы сопоставить 0, а числу 1500 — само себя). Таких пар получается 1099 , поэтому итоговый ответ 
и 
Докажите неравенство
и, следовательно, 
Обозначим 
Тогда 
то есть наши шесть логарифмов равны 
и abc. Наибольший из них при этом abc и именно его нам надо найти.
отсутствует хотя бы одно число. Каждое из шести чисел встречается ровно в двух из этих троек, значит, чтобы «разрушить» все тройки, надо удалить два числа, которые вместе в одной тройке не встречаются, то есть, числа, которых мы не знаем, это либо a и c, либо b и abc, либо bcи
и 
Третий вариант невозможен, потому что ни одно из наших четырёх чисел не является произведением трёх других. Для того, чтобы четверёка чисел могла соответствовать первому или второму вариантам, необходимо и достаточно, чтобы произведение двух чисел было равно произведению двух оставшихся. Это условие выполняется: 
и abc — это наибольшее из наших четырёх чисел. Во втором случае 
и abc — это как раз искомое произведение. Значит, мы имеем два возможных ответа: 28 и 420.Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке O. K, L, M, N — точки касания сторон AB, BC, CD и AD соответственно, KP, LQ, MR и NS — высоты в треугольниках OKB, OLC, OMD, ONA. OP = 15, OA = 32, OB = 64. Найдите длину отрезка QR.
а во второй — 
значит, эти углы равны. (Именно равны, а не дополняют друг друга до 
потому что точки P и R лежат по разные стороны от прямой OS, а окружности симметричны относительно неё).
Сложив это с предыдущим равенством, получим 
Аналогично 
то есть четырёхугольник PRQS — параллелограмм. Значит, вместо длины отрезка QR мы можем найти длину отрезка PS. (Для участников, знакомых с понятием инверсии: можно понять, что вершины четырёхугольника PQRS инверсны вершинам четырёхугольника ABCD относительно нашей окружности, то есть мы только что повторили доказателсьтво теоремы о том, что четырёхугольник, инверсный описанному, является параллелограммом).
Аналогично 
откуда 
в треугольниках OBA и OSP общий, поэтому они подобны с коэффициентом k. Значит, 
имеют общую грань. Сечение одного из этих кубов некоторой плоскостью — треугольник площади 16. Сечение другого той же плоскостью — четырёхугольник. Какое наибольшее значение может принимать его площадь?
и 
с общей гранью ABCD. Пусть также треугольное сечение первого куба — это KLM, где точка K лежит на 
точка L на AB, а точка M — на AD. Одна из сторон четырёхугольного сечения второго куба — отрезок LM. Две другие — продолжения отрезков KLи
на грани второго куба, назовём эти отрезки LPи
Чтобы сечение было четырёхугольным, точки P и Q должны находиться на одной грани второго куба, а это может быть только грань 
Тогда 
и z. Найдём формулу площади этого треугольника. Это можно делать по-разному, например, через векторное произведение, или посчитав двумя способами площадь тетраэдра, образованного вершинами треугольника и вершиной куба, но мы вычислим эту площадь по формуле Герона, зная стороны треугольника: 
и 
С одной стороны, нам надо минимизировать z, а с другой — максимизировать площадь. Очевидно, для этого x и y должны быть максимальны, то есть равны ребру 
то есть 
откуда 
Подставляя эти значения в формулу, получаем: 
а значит, данное уравнение на k имеет не больше одного решения. Конкретное решение в большинстве вариантов легко подбирается из этого равенства, так как оно целочисленное.
что оказывается верным. Ответ получается как разность площадей двух треугольников и равен 
Гензель и Гретель играют в игру, Гензель ходит первым. Они по очереди ставят фишки на клетчатую доску 7 × 8 (7 строк и 8 столбцов). Каждый раз, когда Гретель ставит фишку, она получает 4 очка за каждую фишку, уже стоящую в той же строке и 3 очка за каждую фишку, уже стоящую в том же столбце.
На одной клетке может стоять только одна фишка. Игра заканчивается, когда все клетки доски заполнены.
Какое наибольшее количество очков может заработать Гретель вне зависимости от действий Гензеля?
пар клеток, а в одном столбце — 
Общая сумма очков, набранных обоими игроками в конце игры, будет равна 
— простые числа (не обязательно различные). Какое наибольшее целое значение может принимать выражение 
убывает при 
а значит, 
что на 0, 1 меньше значения для p = 2. Значит, если в вышеприведённой максимальной сумме заменить восемь двоек на тройки, получится как раз 38.
равна 3. Какие наибольшее и наименьшее целые значения может принимать сумма их косинусов?
до 
значит, 
а сумма пяти синусов и пяти косинусов принимает значения от 5 до 
что чуть больше 7. Вычитая 3, получаем наименьшее и наибольшее возможные целые значения суммы: 2 и 4 соответственно.
Значение 4 достигается, когда все углы имеют синусы, равные 
и косинусы равные 
где числа 
количество раз, которое повторяется каждая буква. 
то есть, наша задача — представить число 720 в виде факториала или произведения нескольких факториалов, больших 1. 
!, это одно из представлений. Кроме того, 720 делится на 5, поэтому остальные Варианты должны включать 
Итак, 
Легко видеть, что других Вариантов представить число 6 в виде произведения факториалов, нет.
одна буква повторяется 6 раз, а остальные 4 уникальны, итого 5 букв. В другом Варианте, задаваемом формулой 
одна буква встречается 5 раз, другая 3 раза, и есть ещё 2 уникальные буквы, всего 4 различные буквы.
и 
такие, что 
На стороне AC отмечены точки 
и 
такие, что 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке K, а 
и 
— в точке L. Точки 
и C лежат на одной прямой. Найдите 
так как 
Аналогично 
Для остальных двух отрезков 
и 
(причём знаки 
одинаковы). Подставляя, получаем
знаки 
и мы получаем квадратное уравнение 
Оно имеет корни 12 и −27, из которых нас интересует положительный.
— многочлен четвёртой степени с целыми коэффициентами, старший из которых положительный. При этом 
Найдите x, при котором (или при которых) 
и 
при целых 
могут быть равны только если 
Значит, 
откуда 
то есть 
и можно сказать, что 
где 
При этом 
значит, 
достигает минимума при 
а 
и соотношением 
и 
отличаются менее чем на 
Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC, точка O — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, отрезки AC и OI пересекаются в точке K.
Оказалось, что OI = 50, IK = 18, AK = 24. Найдите длину биссектрисы угла B в треугольнике ABC.
центр вневписанной — на биссектрисе внешнего угла 
Эти биссектрисы перпендикулярны, поэтому треугольник AIO прямоугольный с прямым углом в точке A. Заметим, что в условии задачи 
Это равенство в прямоугольном треугольнике выполняется тогда и только тогда, когда AK — высота. Поэтому 
то есть 
но прямая IO — это биссектриса угла 
значит, треугольник ABC равнобедренный 
Тогда 
В некоторой стране 100 городов. Каждый из них связан двусторонним авиасообщением с тремя другими городами. При этом из любого города можно добраться в любой другой, возможно, с пересадками. Вася хочется добраться из города А в город Б. Какого наименьшего числа перелётов ему гарантированно хватит?
и для этих чисел как раз xyz делится на 
— квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами. При этом 
Найдите 
Значит, 
и 
не имеет решений в натуральных числах.